Parte 2 - Dinâmica das Probabilidades no Bridge

Émile Borel, nos alerta agora para outro erro possível sobre o não correto uso da probabilidade a priori e a posteriori.

ERRO 2 :
O segundo erro a se evitar refere-se na composição do cálculo da probabilidade final (à posteiori) de uma causa observada, por exemplo, do descarte de uma honra, só levando em conta a probabilidade de entrada em jogo (a priori) da causa, logo deixando de formular uma explicação ou lei probabilística que explique sua ocorrência através de um modelo para o comportamento do jogador que a produziu.

Estamos falando do comportamento, da psicologia, que iremos inferir a um jogador para justificar seus possíveis procedimentos, porém para entendermos o que foi dito anteriormente vamos meditar sobre a seguinte situação narrada por Borel, que embora seja um pouco maçante, é muito importante para conceituarmos de vez o que foi dito.

Paulo retira de um baralho, 4 cartas de Espadas, 3 cartas de Paus e uma carta de Ouros. A seguir ele embaralha essas 8 cartas e as distribui em dois maços de 4 cartas. Paulo toma um maço de 4 cartas e anuncia que o maço que ele escolheu possui 3 cartas pretas e a seguir nos pergunta: - Onde está a carta de Ouros, nesse maço ou no outro?

Evidentemente Paulo irá nos detalhar que as três cartas pretas são de Espadas, ou de Paus, ou ainda duas de Espadas e uma de Paus ou uma de Espadas e duas de Paus, porém está claro que Paulo jamais incluirá a carta de Ouros no seu anúncio, pois é precisamente isto que nos cabe descobrir.

Supondo que Paulo diga que as 3 cartas pretas são de Espadas e que a seguir nos pergunte novamente qual o maço que tem a carta vermelha.

Nesse caso podemos fazer o seguinte cálculo e análise : Existem C8,4 = 70 combinações possíveis de se formar maços de 4 cartas de um conjunto de 8 cartas. As configurações possíveis são:
conjunto1) 4
= 1;                            conjunto2) 3 + 1 = 12;        conjunto3) 3 + 1
= 4;   
conjunto4) 2 + 1 + 1 = 18;     conjunto5) 2 + 2 = 18;        conjunto6) 1 + 3 = 4;
conjunto7) 1 + 2 + 1
= 12  e  conjunto8) 3 + 1 = 1.

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? Portanto se Paulo fez um segundo anúncio dizendo que as três cartas pretas eram 
? de Espadas podemos afirmar que a quarta carta, não anunciada por Paulo, será:
? Ouros     em 4 casos dentre 17 (23,5%);
? Espadas em 1 caso   dentre 17 (05,9%); 
? Paus     em 12 casos dentre 17 (70,6%).
? conforme inferimos nos conjuntos 2 e 3 acima onde há 3 cartas de Espadas
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Essas conclusões são falsas. Está certo afirmar que de 70 possibilidades haverá 4 casos possíveis de conter 3 e 1, que haverá 1 caso de 4 e que haverá 12 casos de 3 e 1, porém estas são as probabilidades de início (a priori ), de antes do anúncio de Paulo, que afirmou que havia 3 cartas de Espadas naquele maço. 

Ora, não é nada disso que buscamos. O que buscamos são probabilidades calculadas após o anúncio de Paulo, logo precisamos conhecer a probabilidade que estará em jogo, isto é, como estará Paulo restrito ou com liberdade de escolha para fazer seu anúncio (isso demanda conhecer ou inferir seu comportamento, sua psicologia). Uma simples aplicação da formula de Bayes nos dará o ajuste para a verdadeira probabilidade final (a posteriori), aquela cujo efeito observado (o anúncio de Paulo) seja devido e para isso temos que ter um modelo probabilístico do seu comportamento :

Façamos pois uma análise da situação: Quando o maço escolhido por Paulo possuir 4 cartas de Espadas ou 3 cartas de Espadas e 1 de Ouros ele estará restrito a anunciar 3, porém se o maço escolhido por Paulo possuir 4 cartas pretas, compreendida de Espadas e Paus, surge a pergunta : Baseado em que lei ele eliminará a quarta carta de seu anúncio?

É justamente isso que devemos saber (sua psicologia) para poder estabelecer a probabilidade a posteriori de modo a associá-la ao evento observado (comportamento de Paulo para escolher a quarta carta não divulgada). Façamos 3 hipóteses para o seu comportamento :

Primeira hipótese psicológica para Paulo: Quando Paulo separar a quarta carta preta, que pode ser Espadas ou Paus, 50% das vezes ele eliminará Espadas e 50% das vezes eliminará Paus. Considerando que seu anúncio foi 3ª então o maço de 4 cartas escolhido por ele poderá ter os seguintes conjuntos:
conjunto (a) 3 + 1
 
conjunto (b) 3
+ 1 
conjunto (c) 3
+ 1

Existe somente uma combinação que dará o conjunto (a) para Paulo, logo se ele recebeu o conjunto (a) é uma certeza (probabilidade = 1) que ele anunciará 3, pois sua escolha é restrita. Desse modo, a probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para que ele possua o conjunto (a) será igual a 1/70 x 1 = 1/70.

Considerando que existem 12 combinações que darão o conjunto (b) para Paulo, usando a hipótese bem razoável, formulada por Bayes, que em 50% das vezes ele eliminará Paus e em 50% das vezes ele eliminará Espadas, então 50% das vezes ele dirá 2 e 1 e 50% ele dirá 3 (pois aqui ele tem a liberdade de escolha ), logo a probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para que ele possua a combinação (b) é igual a: 12/70 x ½ = 6/70

Finalmente existem 4 combinações que darão o conjunto (c) a Paulo e se Paulo receber o conjunto (c), será uma certeza que ele anunciará 3ª, pois ele não pode revelar a carta de Ouros, ele está restrito a anunciar 3ª, logo a probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para que ele possua o conjunto (c) é igual a 4/70 x 1= 4/70

Aplicando agora a fórmula de Bayes, que impõe que se trabalhe com as probabilidades que vão entrar em jogo, ou seja, deletando-se do conjunto universo as configurações que sabemos não ser possíveis temos o ajuste necessário, e as probabilidades à posteriores, calculadas após o anúncio de Paus, para que a quarta carta seja:
Espadas = 1/ (1+6+4) = 1/11 (note que cancelamos o 70 para não dificultar)
Paus       = 6/ (1+6+4) = 6/11
Ouros     = 4/ (1+6+4) = 4/11

Segunda hipótese psicológica para Paulo: se Paulo receber 4 cartas pretas, compostas por Espadas e Paus, Paulo as embaralha e retira ao acaso uma carta para anunciar as outras 3 cartas. Paulo anunciou 3ª, então:

- Se ele tiver o conjunto (a), será uma certeza que ele anunciará: 3 e a probabilidade composta calculada antes do anúncio de Paulo, para que ele receba o conjunto (a) e anuncie 3 será de:
1/70 x 1 = 1/70

- Se ele tiver o conjunto (b), ele anunciará uma vez dentre quatro: 3 e anunciará três vezes dentre quatro que ele terá 2 + 1. A probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para que ele revele o conjunto (b) e anuncie 3 será de:
 12/70 x 1/4 = 3/70

- Finalmente se ele tiver o conjunto (c) será uma certeza que ele anunciará 3, e a probabilidade composta calculada antes do anúncio de Paulo para que ele receba o conjunto (c) e anuncie 3 será de:
4/70 x 1 = 4/70

Portanto, nesta hipótese psicológica para Paulo, as probabilidades a posteriori, calculadas após o anúncio de Paulo, para que a sua quarta carta seja:
Espadas = 1/ (1+3+4) = 1/8
Paus       = 3/ (1+3+4) = 3/8
Ouros     = 4/ (1+3+4) = 4/8 

Terceira hipótese psicológica para Paulo: quando Paulo receber um maço que só contenha cartas pretas ele eliminará de seu anúncio a carta do naipe que tenha menor número de cartas e se houver igualmente duas cartas de Paus e duas cartas de Espadas ele eliminará 50% das vezes Paus e 50% das vezes Espadas.

Nesse caso, para o conjunto (a) a probabilidade continua sendo 1/70 x 1; para o conjunto (b) a probabilidade fica sendo 12/70 x 1; para o conjunto (c) continua sendo 4/70 x 1.

Considerando que Paulo anunciou 3ª, então as probabilidades à posterior calculadas após o anúncio de Paulo serão (eliminando-se o denominador 70):
Espadas =   1 / (1+12+4) =   1/17
Paus       = 12 / (1+12+4) = 12/17
Ouros     =   4 / (1+12+4) =   4/17

O Quadro seguinte resume as probabilidades calculadas após o anúncio de Paulo, conforme seja a hipótese de seu comportamento e o leitor poderá calmamente verificar a exatidão das mesmas.

=================================================!
! anúncio    !    comportamento     !  comportamento     ! comportamento     !
! de Paulo   !    hipótese um (1)     !  hipótese dois (2)   !  hipótese três (3)   !
!=======!==============!=============!=============!
!                   !    a 4a. carta será      !     a 4a. carta será   !    a 4a. carta será   !
!                   !   
    !        !   
      !        !        !       !        !        !       !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 3
             !  1/11!  6/11!  4/11  !  1/8  !  3/8  !   1/2  ! 1/17 !12/17! 4/17 !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 3             !  2/3  !   não !   1/3    !   1/2 !  não  !   1/2  !  4/5  !   não !  1/5   !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 2 e 1   ! 9/23 !  2/23! 12/23  !   3/8 !  1/8  !   1/2 ! 3/17 !   não ! 4/17 !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 2 e 1  
! 2/11 ! 3/11 !   6/11  !  1/4  !  1/4  !   1/2  !   não !  1/3  !  2/3  !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!

Transpondo essas considerações anteriores para o domínio do Bridge, podemos perceber com mais clareza que o cálculo da probabilidade a posteriori passa por uma inferência sobre o comportamento e a psicológica do jogador oponente, portanto não existe uma lei geral a ser fixada e por todos seguida. A "lei" dos 50% das vezes o jogador faz isso e 50% das vezes faz aquilo, é um simples bom senso, que é usado como um postulado por Bayes para esse tipo de situação, que usamos no emprego de situações conhecidas como "Restricted Choise".

Por outro lado, no Bridge o anúncio de Paulo equivale também a uma licitação de leilão, a numa saída de Rei, que em geral, implica numa Dama e Valete (ou 10); numa saída de Dama, que em geral, implicada, em ter o Valete e 10 (ou nove); na queda de um Rei após a batida de um Ás e finalmente na concentração de honras (A/K/Q) com um jogador determinada por sua abertura ou um dobre punitivo num contrato, etc. Como aplicação do que foi visto vamos idealizar uma hipótese para o comportamento de uma saída no jogo de Bridge:

Você está em Sul carteando um contrato de naipe de 4ª, após um leilão direto 1 => 4, e receber uma saída de Ouros que vem a ser um naipe nono lateral onde você tem todas as cartas altas. Após Este servir Ouros você se pergunta, qual é a melhor inferência a ser feita na distribuição dos Ouros após a saída de OESTE. Sabemos que as probabilidades a priori dos resíduos quando faltam 4 cartas num naipe é que Oeste terá uma carta em 24,9%, terá duas cartas em 40,7% e terá três cartas em 24,9%.

Assumindo agora um modelo probabilístico para a psicologia desta saída de OESTE, vamos postular que tendo seca de Ouros ele sairá 2 vezes em 3; tendo dubleton ele sairá 1 vez em 4; tendo tripleton ele sairá 1 vez em 20.

Aplicando agora a fórmula de Bayes temos:
probabilidade composta para carta seca = 24,9% x 2/3   = 16,6%
probabilidade composta para dubleton    = 40,7% x 1/4   = 10,2%
probabilidade composta para tripleton    = 24,9% x 1/20 =   1,2%

Portanto a probabilidade a posteriori para que seja saída de:
singleton = 16,6 x 100 / (16,6 + 10,2 +1,2 ) = 1660,0 / 28,0 = 59,3%
dubleton  = 10,2 x 100 / (28,0) = 36,4%
tripleton  =    1,2 x 100 / (28,0 ) =  4,3%

Assim sendo, se o Carteador tiver que inferir contagem de mão e compor probabilidades para determinar sua melhor linha de carteio, após essa saída de Ouros, a probabilidade a posteriori de ser carta seca em Oeste aumentou significativamente.

Do expostos pode se concluir que durante uma mão de Bridge ocorrem várias indicações que permitem ao Carteador uma opção pela melhor linha de carteio graças a uma boa percepção da probabilidade a posteriori, onde uma das concepção mais úteis está no emprego do Restricted Choise, que consiste na inferência de comportamento e psicologia de um jogador ao servir cartas contíguas, e que será o nosso próximo tópico, visto que agora já entendemos a diferença entre a probabilidade a priori e a probabilidade a posteriori.

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